Matematică 2025

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați termenul a1 al progresiei aritmetice  an n1 , știind că a3  19 și a4  25 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   2 x  a , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că f  2   8 . 2 x 1 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5   25 x  0 . 625 5p 4. Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea A  1, 2, 3, 4, 5, 6 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A  2, 2  , B  2,0  și C  8, 2  . Determinați lungimea segmentului DE , unde punctele D și E sunt mijloacele segmentelor OA , respectiv BC .  5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AB  6 și B  . Arătați că raza cercului 6 circumscris triunghiului ABC este egală cu 2 3 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  0 1  a 1  1. Se consideră matricele I 2   , A  și M  a     , unde a este număr 0 1 2 4   2  2a 2  a  real. 5p a) Arătați că det A  2 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care M  2   A  xM 1 . 5p c) Determinați numerele reale a pentru care  M  a   2 I 2   M  a    a  2  I 2 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x  y   x  6  y  6   6 . 5p a) Arătați că 9  8  12 . 5p b) Arătați că e  7 este elementul neutru al legii de compoziție „  ”. 6 5p c) Determinați numerele reale nenule x pentru care x   6 x . x SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f :  0,    ℝ , f  x   x 2  5   x. 5  x  1 x  1 5p a) Arătați că f '  x   , x   0,   . 2 x f ' x 5 5p b) Arătați că lim  . x  x x 2 5p c) Arătați că f  x  2   f  x   26 , pentru orice x   0, 2 . 2. Se consideră funcția f :  0,    ℝ , f  x   x 2  4ln x . 2 7 5p a) Arătați că   f  x   4ln x  dx  . 1 3 e f  x   x2 5p b) Arătați că  dx  2 . 1 x   2  f  x  f ''  x    f '  x   dx  m  f  2   f 1  . 2 5p c) Determinați numărul real m pentru care 1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 1