Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_șt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați termenul a3 al progresiei aritmetice ( an )n ≥1 , în care a1 = 4 și a2 = 15 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3x − 2 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) + f ( 2 ) = 2a . 5p ( ) 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 x 2 − 3 x + 2 = log 2 ( 2 + x ) . 5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1,2,3,5,7,8} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,5 ) , B ( 8, 4 ) și C , mijlocul segmentului OB . Arătați că AO = AC . 2 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AB = 4 și cos B = . Arătați că BC = 6 . 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  −2 8  1. Se consideră matricele I 2 =   și A =  . 0 1  −1 3  5p a) Arătați că det A = 2 . 1 5p b) Arătați că matricea B = ( I 2 − A ) este inversa matricei A . 2 5p c) Determinați matricea X ∈ M2 ( ℝ ) pentru care ( A − I 2 ) ⋅ X = 2 A . 2. Pe mulțimea M = [ 0, +∞ ) se definește legea de compoziție x ∗ y = x + y − xy . 5p a) Arătați că 1 ∗ 4 = 3 . 5p b) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ ( 9 x ) = x 2 . 5p c) Determinați numărul real x pentru care 2 x ∗ 2 x + 2 = 6 x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2 x 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 . x +x+2 −3 x 2 − x + 2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . ( x + x + 2) 2 2 x 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Determinați a ∈ ( 0, +∞ ) pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul A ( a, f ( a ) ) este paralelă cu axa Ox . 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 + 3x + 3 . 2 5p a) Arătați că  ( f ( x ) − 3 x − 3) dx = 4 . 0 1 1 1 5p b) Arătați că  dx = . 0 ( f ( x) − x ) 3 2 18 Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare e f ( x) − 3 e2 + m 5p c) Determinați numărul real m pentru care  ⋅ ln x dx = . 1 x2 4 Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 2 din 2