Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 10 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați termenul a1 al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , în care a2 = 8 și a3 = 12 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 3 x − 2 . Determinați numărul real m pentru care f ( m ) = m . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 6 9 − x 2 = log 6 5 . ( ) 5p 4. Se consideră mulțimea A = {0,1, 2, … ,9} . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A , numărul 2n + 1 să aparțină mulțimii A . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,0 ) , B ( 4, 4 ) și C ( 5, 2 ) . Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în C . 2 3x π 5p 6. Se consideră expresia E ( x ) = 2sin x ⋅ cos +  sin  . Arătați că E   = 2 . x 2  4 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  a a +1  1. Se consideră matricele A =   și B ( a ) =   , unde a este număr real. 0 4  a − 3 4a − 1 5p a) Arătați că det ( B (1) ) = 7 . 5p b) Arătați că B ( 2 ) − B ( 0 ) ⋅ B (1) = 4 A . 5p c) Determinați numerele reale a pentru care matricea C ( a ) = B ( a ) − aA nu este inversabilă. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − 2 x − 3 y + 6 . 5p a) Arătați că 2 ∗ 2 = 0 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 6 = x . 5p c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x ∗ ( 2 ∗ x ) ≥ 2 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2x 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . x +x+4 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( 2 4 − x2 ) , x ∈ℝ . ( x2 + x + 4) 2 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Arătați că f ( x ) − f ( 4 − x ) ≤ 1 , pentru orice x ∈ [ 4, +∞ ) . x+3 2. Se consideră funcția f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x +1 2 5p a) Arătați că  ( x + 1) f ( x ) dx = 8 . 0 1 5p b) Arătați că  f ( x ) dx = 1 + 2ln 2 . 0 2 ( ) 5p c) Determinați numărul real a pentru care  x 2 − 1 e x f ( x ) dx = e ( e + a ) . 1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 10 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 1