Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2 ⋅ (1,2 + 0,1) + 0,4 = 3 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x + 1 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) − f ( 2) = a . ( 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log8 x 2 − 5 x + 5 = log8 x . ) 5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 3, 4, 6, 8} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,8 ) , B ( 4, 2 ) și C , mijlocul segmentului OA . Determinați coordonatele mijlocului segmentului BC . π 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AB = 8 și C = . Arătați că aria triunghiului 4 ABC este egală cu 32 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 1 3   x − 2 x − 2 1. Se consideră matricele I 2 =  , A=  și B ( x ) =   , unde x este număr real. 0 1 1 3  x−4 x  5p a) Arătați că det ( B ( 5) ) = 12 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care ( B ( 4 ) − B ( 2 ) ) ⋅ A = aA . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care det ( A ⋅ B ( x ) − 4 xI 2 ) = 0 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = x ( x − 2 ) + y ( y − 2 ) . 5p a) Arătați că 3 3 = 6 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care 2 x = x 2 + 2 . 5p c) Arătați că x y ≥ −2 , pentru orice numere reale x și y . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 x − −3. x x x +1 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă. 4x 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . x +1 2 ( ) 5p a) Arătați că  x + 1 f ( x ) dx = 6 . 2 1 3 5p b) Arătați că  f ( x ) dx = 2ln 2 . 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație ( x )  dx = 6 . 3 m f 5p c) Determinați m∈ (1, +∞ ) pentru care   x  1  Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 2 din 2