Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numerele 5 − 2 6 , 1 și 5 + 24 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ax + 1 , unde a este număr real nenul. Determinați numărul real nenul a pentru care ( f f )(1) = 1 . 2− x 1 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x ⋅   = 32 . 4 5p 4. Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii M = {0,1,2,3,4} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −2,1) și B ( 2,5) . Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul B și este perpendiculară pe dreapta AB . π 5p 6. Arătați că ( tg x + 1)( ctg x − 1) = 2ctg2 x , pentru orice x ∈  0,  .  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 1 a + 1 ax + y + ( a + 1) z = a    1. Se consideră matricea A ( a ) =  1 a −1  și sistemul de ecuații  x + ay − z = 4 , unde  2 −a    4   2 x − ay + 4 z = −4 a este număr real. 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = −9 . 5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică. 5p c) Arătați că, dacă sistemul are soluția unică ( x0 , y0 , z0 ) , atunci x0 + y0 + z0 = 2 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 + 2 X + m , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 6 , arătați că f ( −1) = 0 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul g = X 2 + 2 . 5p c) Determinați numărul real m pentru care x13 + x23 + x33 = 0 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x +1 1. Se consideră funcția f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x + . ex 2x + 1 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 1 − , x ∈ ( −1, +∞ ) . 2e x x + 1 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . e 5p c) Demonstrați că f ( x ) − x ≤ , pentru orice x ∈ ( −1, +∞ ) . 2 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 + x ln x . 2 5p a) Arătați că  3 ( f ( x ) − x ln x ) dx = 7 . 1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație e f ( x)  1 5p b) Arătați că  3 dx = 2  1 −  . 1 x  e x +1 5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : [1, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = , axa Ox și f ( x) dreptele de ecuații x = 1 și x = e are aria strict mai mare decât 1 . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2