Matematică 2023

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) ( 5p 1. Arătați că 4 − 6 3 + 3 2 3 − 1 = 1 . ) 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 5 x − 3 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 2 x + 3 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) = g ( a ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22 x+1 ⋅ 23 = 1 . 5p 4. Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A = {3, 4,5,6} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,0 ) , B ( 0, 2 ) , C ( 3,3) și M , mijlocul segmentului AB . Arătați că segmentele MO și MC au lungimile egale. π  5p 6. Se consideră E ( x ) = 2sin x sin 2 x − cos x , unde x este număr real. Arătați că E   = 0 . 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  3 + a 2 − 2a  1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( a ) =   , unde a este număr real.  0 1   1 − a 1 + 3a  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Arătați că A ( 0 ) ⋅ ( A ( a ) − A ( 0 ) ) = aI 2 , pentru orice număr real a . (( ) ) 5p c) Demonstrați că det A a − aA ( a ) ≥ 0 , pentru orice număr real a . 2 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = x 2 − 4 xy + 3 y 2 . 5p a) Arătați că 0 2 = 12 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( 2 x ) x = −1 . 5p c) Determinați perechile ( m, n ) de numere întregi, cu m < n , pentru care m n = 3 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 4x − 4 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 5 + . x2 4( 2 − x) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x3 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că f ( x ) − f ( y ) ≤ 1 , pentru orice x , y ∈ [1, +∞ ) . 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 3x 2 + 4ln x . 2 5p a) Arătați că  ( f ( x ) − 4ln x ) dx = 7 . 1 e ( ) 5p b) Arătați că  x f ( x ) − 3 x 2 dx = e 2 + 1 . 1 e (3e −1)(3e + 5) , pentru orice primitivă F : 0, +∞ → ℝ a funcției f . 5p c) Demonstrați că  f ( x ) F '' ( x ) dx = ( ) 1 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii Pagina 1 din 1