Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 3 − 4i + i ( 4 − i ) = 4 , unde i 2 = −1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 − 2 x . Arătați că ( f f )(1) = 0 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log5 x 2 − 2 x + 6 = log 5 6 . ( ) 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 7 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 2 ) , B ( a,0 ) și C ( 0, b ) . Determinați numerele reale a și b , știind că punctul A este mijlocul segmentului BC . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AB = AC = 10 și BC = 16 . Arătați că AD = 6 , unde AD este înălțime în triunghiul ABC . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 0 1 2  x + 1 2 x + 1 1. Se consideră matricele I 2 =  , A =  și B ( x ) =   , unde x este număr 0 1  −1 −2   x − 1 2 x − 1 real. 5p a) Arătați că det ( B ( 2 ) ) = 4 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care B ( 0 ) ⋅ B (1) = aA . 5p c) Determinați numărul real x pentru care A ⋅ B ( x ) = A ⋅ ( B ( 0 ) − 3I 2 ) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + 2 X 2 + mX − 3 , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 0 , arătați că f (1) = 0 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X + 1 . 5p c) Determinați numărul real m pentru care (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − x3 ) = x1 x2 x3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 3x 2 1. Se consideră funcția f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x2 + x − 2 3x ( x − 4 ) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) . ( x + x − 2) 2 2 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 17 ( ) 5p c) Demonstrați că f ( x ) + f x 2 ≥ , pentru orice x ∈ (1, 2] . 3 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x ( x − 1) . 2 7 f ( x) 5p a) Arătați că  dx = 20 . 3 ( x − 1)2 3 x 1 5p b) Arătați că  dx = . 2 f ( x) 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie 5p c) Arătați că  1 xf ( ex ) dx = e − 5 . 2 0 ex 4 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2