Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2 ( 2 − 1)( 2 + 2 ) = 2 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x 2 − 4 x . Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox . 1 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x −3 = 2 x . 2 5p 4. Calcula ț i probabilitatea ca, alegând un num ăr din mul ț imea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 11 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A( −1,0) , B ( 0,3) și C ( 4,0 ) . Arătați că triunghiul ABC este isoscel. 3x x  π π  5p 6. Se consideră E ( x ) = tg x + sin − 2cos , unde x ∈  0,  . Arătați că E   = 1 . 2 2  2  3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x + 1 −x  1. Se consideră matricele M ( x ) =   , unde x este număr real.  −2 x 2 x + 1  5p a) Arătați că det ( M (1) ) = 4 . 5p b) Arătați că M ( x ) ⋅ M (1) = M ( 4 x + 1) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numărul real x pentru care M ( x ) ⋅ M (1) ⋅ M (1) = M ( x + 2 ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = 5 xy + 10 x + 10 y + 18 . 5p a) Arătați că ( −1) 0 = 8 . 5p b) Demonstrați că x y = 5 ( x + 2)( y + 2 ) − 2 , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numărul întreg m pentru care m m = m . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 + 1 1. Se consideră funcția f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = + ln ( x − 1) . x −1 x2 − x − 2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) . ( x − 1)2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2 , situat pe graficul funcției f . x2 + 1 5p c) Demonstrați că + ln ( x − 1) ≥ 5 , pentru orice x ∈ (1, +∞ ) . x −1 x+4 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . 6x + 1 2 ( ) 5p a) Arătați că  f ( x ) 6 x + 1 dx = 10 . 2 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie 2  4  ln 5 5p b) Arătați că   f ( x ) − 2  dx = 6 . 0 6x + 1  1 5p c) Determinați numărul real m pentru care  x + 4 2x f ( x ) ( ⋅ e dx = m e2 − 1 .) 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2