Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați termenul b4 al progresiei geometrice ( bn )n≥1 , știind că b1 = 2 și b2 = 4 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = mx 2 − 2 x + 1 , unde m este număr real nenul. Determinați numărul real nenul m pentru care axa Ox este tangentă graficului funcției f . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2 − 3x − 6 ⋅ 3x−1 = 6 . 5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A , numărul 2n − 60 să aparțină mulțimii A . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −1, 4 ) , B ( 5, 2 ) și C , mijlocul segmentului AB . Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul C și este perpendiculară pe dreapta AB . 5p 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC , cu măsura unghiului A egală cu 120° și AB = 6 . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 9 3 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  0 1 1. Se consideră matricele I 2 =  , A=  și B ( x ) = xI 2 + iA , unde x este număr real și 0 1  −1 0  i 2 = −1 . 5p a) Arătați că det A = 1 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care B ( 3) ⋅ B ( 5 ) = 8 B ( x ) . 5p c) Determinați perechile ( m, n ) de numere întregi pentru care matricea B ( m ) + iB ( n ) nu este inversabilă. 2. Pe mulțimea M = [1, +∞ ) se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − ( x − 1)( y − 1) . 5p a) Arătați că 2 ∗ 5 = 8 . 5p b) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 5p c) Demonstrați că ( nx ) ∗ y ≥ x ( n ∗ y ) , pentru orice x, y ∈ M și orice număr natural n , n ≥ 2 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 4 x 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x2 + 3 ( ) , x ∈ ( 0, +∞ ) . 6 1 − x2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = x ( x 2 + 3) 2 5p b) Determinați a ∈ ( 0, +∞ ) , știind că tangenta la graficul funcției f în punctul A ( a, f ( a ) ) este paralelă cu axa Ox . 1 x+ x x 5p c) Demonstrați că > , pentru orice x ∈ (1, +∞ ) . x2 + 3 x2 + 1 +5 2 x Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie ex + 2x 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex 1 5p a) Arătați că ∫ e f ( x ) dx = e . x 0 0 5p b) Arătați că ∫ f ( x ) dx = −1 . −1 1 a ( e + 1) 5p c) Determinați numărul real a pentru care ∫ F ( x ) f '' ( x ) dx = e2 , unde F : ℝ → ℝ este 0 primitiva funcției f cu proprietatea F ( 0 ) = 0 . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2