Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numărul N = log 2 24 − log 2 12 + 3 este pătratul unui număr natural. ( ) 5p 2. Determinați numărul real a pentru care punctul A a, a 2 aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x) = 2x −1. 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația x 2 − 2 x − 2 = x − 2 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1!, 2!, 3!, ..., 10!} , acesta să fie divizibil cu 9 . 5p 5. Se consideră triunghiul ABC și punctul D mijlocul segmentului BC . Arătați că, pentru orice       puncte E și F astfel încât AE = FD , are loc relația 2 EB + FC = AB + AC . ( ) π 5p 6. Arătați că ( sin x + cos x )2 − ( sin x − cos x )2 = 2cos  − 2 x  , pentru orice număr real x . 2  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x 2 1 1. Se consideră matricea A ( x ) =   x − 1 1 , unde x este număr real.   5p a) Arătați că det ( A ( −1) ) = 3 . 5p b) Demonstrați că matricea A ( x ) este inversabilă, pentru orice număr real x . 5p c) Determinați matricea X ∈ M2 ( ℝ ) pentru care A (1) ⋅ X ⋅ A (1) = A ( 2 ) . 2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x  y = xy − 2 ( x + y − 1) + 2 . 5p a) Arătați că 2 0 = 2 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x − 2  x + 2 = x .( )( ) 5p c) Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „  ” este număr rațional. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)  1 (  1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ( 0, +∞ ) , f ( x ) = x  1 − ln x 2 + 1  .  x  ) ( x − 1)2 , x ∈ 0, +∞ . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 2 ( ) x +1 5p b) Determinați numărul natural nenul n , știind că tangenta la graficul funcției f în punctul 1 A ( n, f ( n ) ) este paralelă cu dreapta de ecuație y = x + 1 . 5 5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă. Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 1 2ln x ln x 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = − și funcția F : ( 0, +∞ ) → ℝ , F ( x ) = , x3 x3 x2 o primitivă a lui f . e 2 2ln x  5p a) Arătați că ∫ x  f ( x ) + 3  dx = 1 . 1  x  5 ( 5p b) Arătați că ∫ x ⋅ f x 2 + 3 dx = − ) 5ln 2 128 . 1 e2 a2 − 1 5p c) Determinați numerele reale a pentru care ∫ x ⋅ F ( x ) dx = . e 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2