Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că media aritmetică a numerelor a = 20 − 21 și b = 22 + 21 este egală cu 21 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 3 − x . Arătați că f ( a ) + g ( a ) = 2 , pentru orice număr real a . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7 x − 6 = x . 5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii {1, 2,3, 4} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 6,0 ) și B ( 6,6 ) . Arătați că triunghiul AOM este isoscel, unde punctul M este mijlocul segmentului OB . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , astfel încât AC = 4 și măsura unghiului B este egală cu 60° . Arătați că înălțimea din vârful A a triunghiului ABC are lungimea egală cu 2 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 1 −x  1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( x ) =   , unde x este număr real. 0 1 x x + 1 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 3 . 5p b) Arătați că A ( −1) ⋅ A ( 2 ) − A ( −1) = 2 I 2 . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care A ( x ) ⋅ A ( − x ) + xA ( x ) = 3I 2 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = 4 ( xy + 1) − 3 ( x + y ) . 5p a) Arătați că 1 2 = 3 . 5p b) Arătați că, dacă a 3 = 4 , atunci a ( −a ) = 0 . 5p c) Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( x 1) ( x − 1) ≤ 4 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 x 2 + x + 3 − 5ln x . ( x − 1)( 4 x + 5) , x ∈ 0, +∞ . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( ) x f ( x ) + 5ln x 5p b) Arătați că lim = −2 . x →+∞ 3 − x − x2 5p c) Demonstrați că 2 x 2 + x ≥ 3 + 5ln x , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( 3 − 2 x ) e x . 1 f ( x) 5p a) Arătați că  dx = 2 . 0 ex 2 5p b) Arătați că  f ( x ) dx = e − 5 . 2 0 1 e3 x 2 5p c) Determinați a ∈ ( −∞,1) pentru care  dx = . a f 3 ( x) 9 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1