Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 13 5p 1. Se consideră numărul complex z = 3 + 2i . Arătați că z + =6. z 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 x − 5 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x 2 + x . Determinați numărul real a pentru care ( f  g )( a ) = ( f  g )( −a ) . 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 33 x +5 = 9 ⋅ 3x +1 . 5p 4. Se consideră A , o mulțime cu 4 elemente. Calculați probabilitatea ca, alegând o mulțime din mulțimea submulțimilor lui A , aceasta să aibă un număr impar de elemente. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,3) , B ( 3,5 ) și C ( 0,6 ) . Determinaţi ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu mediana din vârful C a triunghiului ABC . π 5p 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC , știind că AB = 2 , AC = 2 3 și B = . 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 + 2 x 0 − 4 x    1. Se consideră a un număr real nenul și matricea A ( x) =  0 a 0  , unde x este număr real.  x 0 1 − 2 x   5p a) Arătați că det ( A ( x ) ) = a , pentru orice număr real x . 5p b) Determinați numărul real nenul a astfel încât A ( x ) ⋅ A ( y ) = A ( x + y ) , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Pentru a = 1 , determinați matricea X ∈ M3 ( ℝ ) pentru care A (2) ⋅ X = A (3) . ( 2. Pe mulțimea M = [ 0, +∞ ) se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = log 2 2 x + 2 y − 1 . ) 5p a) Arătați că 0 ∗ 2021 = 2021 . 5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗” . 5p c) Determinați x ∈ M pentru care x ∗ ( x + 1) ∗ ( x + 2 ) = log 2 54 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 + x + 1 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x2 + 1 1 − x2 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = , x∈ℝ . ( 2 x2 + 1 ) ( )( x2 + x + 1 x2 + 1 ) 5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcţiei f . x2 + x + 1 x2 − x + 1 5p c) Demonstrați că 2≤ + ≤ 6 , pentru orice număr real x . x2 + 1 x2 + 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 x + 3 − 2ln x . 3 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) + 2ln x ) dx = 14 . 1 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație e 5p b) Calculați ∫ ( 2 x + 3 − f ( x ) ) dx . 1 1 4 ( 2 − ln 2 ) ( 5p c) Arătați că ∫ x 2 f x3 + 1 dx = ) 3 . 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2