Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 3 ( 4 − i ) + 3i (1 + i ) = 9 , unde i 2 = −1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 4 . Calculați ( f f )( 2 ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log3 x 2 − 2 x + 4 = 1 . ( ) 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, 4 ) și B ( 3, a ) , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctele O , A și B sunt coliniare. π  5p 6. Se consideră E ( x ) = cos x + cos 2 x + cos3 x , unde x este număr real. Arătați că E   = 0 . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  x + 3y 4y  1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( x, y ) =   , unde x și y sunt numere  0 1   −2 y x − 3y  reale. 5p a) Arătați că det ( A (1,1) ) = 0 . 5p b) Demonstrați că, dacă matricea A ( x, y ) este inversabilă, atunci x ≠ y . 5p c) Determinaţi perechile ( m, n ) , de numere întregi, pentru care A ( m, n ) ⋅ A ( − m, n ) = I 2 . 2. Pe mulţimea A = [ 0, +∞ ) se definește legea de compoziție x y = 4xy − (1 − x − y ) . 5p a) Arătați că 2 0 = 2 . 1 5p b) Arătați că x x ≥ 5 , pentru orice x ∈ A , x ≠ 0 . 5p c) Demonstrați că, dacă m și n sunt numere naturale impare, atunci m n este număr natural impar. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x3 − 3ln x . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( 3 ( x − 1) x 2 + x + 1 ) , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că x ≥ 3ln x + 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 3 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = xe x . 2 f ( x) 5p a) Arătaţi că  dx = 2 . 0 ex 1 e2 + 1 ( 5p b) Arătaţi că  f ( x ) + e x dx = ) e . −1 −1+ a 2a 5p c) Demonstrați că  f ( x ) dx ≥ − e , pentru orice a ∈ ( 0, +∞ ) . −1− a Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1