Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că log 2 7 + log 2 6 − log 2 21 = 1 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 2 x − 1 . Demonstrați că f ( x ) ≥ g ( x ) , pentru orice număr real x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x 2 + 12 = 2 x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr x din mulțimea A = {−2, −1,0,1, 2} , acesta să fie soluție a ecuației x 2 − 3 x + 2 = 0 . 5p 5. Determinaţi numerele reale a şi b , pentru care u = 3v , unde u = ai + 6 j și v = 2 i + b j . 5p 6. Se consideră expresia E ( x ) = sin 2 x − cos 2 x + 2 ( sin x + cos x ) − 2 , unde x este număr real. π  Arătaţi că E   = 0 . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x + 2 x + 3 1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  x − 3 x − 2 5p a) Arătați că det ( A ( x ) ) = 5 , pentru orice număr real x . 5p b) Determinați numărul natural n astfel încât A ( −3) + A ( −2 ) + A ( −1) + A (1) + A ( 2 ) + A ( 3) = nA ( 0 ) .  1 8 5p c) Determinați numărul real x pentru care A ( x ) ⋅ A (1) =  .  −4 −7  x + y +1 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = . x + y2 + 1 2 5p a) Arătați că 0 ∗ 1 = 1 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = 1 . 5p c) Demonstrați că x ∗ ( − x ) ≤ 1 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x x + 2 x + 2 . 2 2 x 2 + 3x + 2 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x∈ℝ . x2 + 2 x + 2 f '( x ) 5p b) Calculați lim . x →+∞ f ( x) 5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , ecuația f ( x ) = a are cel puțin o soluție. 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = xe x + x . 1 ( 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) − xe dx = x ) 1 2 . 0 2 1 5p b) Arătați că ∫ ⋅ f x dx = x 2 ( ) e4 − e + 3 2 . 1 1 5 − 3e 5p c) Se consideră F : ℝ → ℝ , primitiva funcției f pentru care F (1) = 0 . Arătați că ∫ F ( x ) dx = . 0 3 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1