Matematică 2020

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( 0,3 ⋅ 10 − 1)( 0,3 ⋅ 10 + 1) = 8 . 5p 2. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuației x 2 − 6 x + m = 0 , unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care x1 x2 ( x1 + x2 ) = 12 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 5 − x = x + 10 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților. 5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii u = ai + ( a − 1) j și v = 3 i + 4 j sunt coliniari. 5p 6. Arătaţi că, dacă x este număr real pentru care sin x = cos x , atunci cos 2 x = 0 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 2b  1. Se consideră matricea A ( a, b ) =   , unde a și b sunt numere reale.  −b a  5p a) Arătați că det ( A (1,1) ) = 3 . ( ) 5p b) Demonstrați că A ( a, b ) ⋅ A ( b, a ) = A − ab, a + b , pentru orice numere reale a și b . 2 2 5p c) Determinați perechile de numere întregi m și n pentru care det ( A ( m, n ) ) = 1 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 15 X 2 + mX − 80 , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 95 , arătați că f (1) = 1 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care x1 ( x1 − x2 ) + x2 ( x2 − x3 ) + x3 ( x3 − x1 ) = 0 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Determinați rădăcinile polinomului f , știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x − x − 10 . 5p a) Arătaţi că f ' ( 0 ) = 0 . 5p b) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției f sunt concurente. ( ) 5p c) Demonstrați că e ≥ ( x + 1) x − x + 1 , pentru orice număr real x . 3 x 2 9 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ( 0, +∞ ) , f ( x ) = x + . x 3  9 5p a) Arătați că ∫  f ( x ) −  dx = 4 . 1 x 2 5p b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = , axa f ( x) Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 9 are aria egală cu 2ln 3 . 3  9 5π 3 + 3 − a 5p c) Determinați numărul real a , știind că ∫  f ( x ) −  arctg x dx = − . 1  x 12 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1