Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră o progresie aritmetică ( an )n≥1 cu a1 = 2 și rația r = 3 . Calculați a3 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + 1 . Determinați numerele reale x pentru care ( ) f x2 = 9 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x + 2 − 32 x = 8 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , acesta să fie divizor al lui 100 . 5p 5. Se consideră un punct P în planul paralelogramului ABCD . Arătați că PA + PC = PB + PD . 5p 6. Arătați că sin  x − π  + cos  x + π  = 0 , pentru orice număr real x .  4  4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  12 + a a  1. Se consideră matricea A ( a ) =   , unde a este număr real.  1+ a 3 + a  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 36 . 1 0 5p b) Determinați numerele reale a pentru care det ( A ( a ) − (12 + a ) I 2 ) = 0 , unde I 2 =  . 0 1 5p c) Se consideră matricea X ∈ M2 ( ℝ ) cu proprietatea X ⋅ X = A ( 0 ) . Arătaţi că cel puţin un element al matricei X este număr iraţional. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = x + 3 y − 2 . 5p a) Arătați că 1 1 = 0 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care x a = x , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care x x6 = 4 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 − 2 x 2 − 1 .  1  5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = 2 x  1 −  , x ∈ (1, +∞ ) .   x2 − 1  5p b) Calculaţi lim x − f ( x ) . 2 x →+∞ x 5p c) Demonstraţi că axa Ox este tangentă la graficul funcţiei f . x 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . x + 2x + 2 1 ( ) 5p a) Arătați că ∫ x 2 + 2 x + 2 f ( x ) dx = 1 2 . 0 2 5p b) Arătați că ∫  f ( x ) + 2  1 1  dx = ln 5 . 0 x + 2x + 2  2 e  1  e2 + 5 5p c) Arătați că ∫  − 2  ln x dx = .  f ( x)  4 1  Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1