Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că (1 + i ) − 2i = 0 , unde i = −1 . 2 2 5p 2. Determinați numărul real nenul m , știind că abscisa vârfului parabolei asociate funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = mx 2 + 8 x − 7 este egală cu 12 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 4 x 2 − 10 x + 40 = 2 . ( ) 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2,3,… ,100} , acesta să fie număr impar. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2, −1) , B ( −2,0 ) și C ( 0,3) . Determinaţi lungimea vectorului BD , știind că ABCD este paralelogram.  π 3 5p 6. Arătați că sin 3 x + sin 2 x + sin x = 3 , știind că x ∈  0,  și sin x = .  2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 1 1 1. Se consideră matricele I 2 =  , A=  și M ( a ) = I 2 + aA , unde a este număr real. 0 1  3 3 5p a) Arătați că det ( M (1) ) = 5 . 5p b) Demonstrați că M ( a ) M ( b ) = M ( a + b + 4ab ) , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinați numerele reale a pentru care M ( a ) M ( a ) = M ( 2 ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 5 x + 5 y − xy − 20 . 5p a) Arătați că x ∗ y = − ( x − 5 )( y − 5 ) + 5 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ x ≥ x . 5p c) Calculați 1∗ (−2) ∗ 3 ∗ (−4) ∗… ∗ (−2018) ∗ 2019 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x + 6x + 9 2 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex − ( x + 1)( x + 3) 5p a) Arătaţi că f ′ ( x ) = , x∈ℝ . ex 5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f . x+ y+2 5p c) Demonstrați că 0 ≤ ( x + 3)( y + 3) ≤ 4e 2 , pentru orice x, y ∈ −3, +∞ [ ). x3 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x +1 2 5p a) Arătați că ∫ ( x + 1) f ( x ) dx = 4 . 0 x3 x 2 5p b) Arătaţi că funcția F : ( −1, +∞ ) → ℝ , F ( x ) = − + x − ln ( x + 1) este o primitivă a funcției f . 3 2 5p c) Determinați numărul real a , a > 1 , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției 1 g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = 3 f ( x ) , axa Ox , dreptele de ecuații x = 1 și x = a 2 are aria egală cu ln 5 . x Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1