Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte) 2  1 1  5p 1. Arătați că numărul a =  −  este întreg, unde i = −1 . 2 1− i 1+ i  5p 2. Determinați cel mai mare număr natural m pentru care soluțiile ecuației x 2 − 7 x + m = 0 sunt numere reale. 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117 . 5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 36 de submulțimi cu două elemente. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −1,1) , B ( 3, − 3) și C ( 3,0 ) . Determinaţi ecuaţia medianei din C a triunghiului ABC .  π 5p 6. Determinați x ∈  0,  pentru care cos x sin (π − x ) − sin x cos (π + x ) = 1 .  2 SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)  2 a 1  2 x + ay + z = 1    1. Se consideră matricea A ( a ) =  3 2a − 1 1 și sistemul de ecuații  3x + ( 2a − 1) y + z = 1 , a − 3    a 1 ( a − 3) x + ay + z = 2a − 1 unde a este număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = −5 . 5p b) Determinați numerele reale a pentru care det ( A ( a ) ) = 0 . 5p c) Pentru a = 1 , determinați soluțiile ( x0 , y0 , z0 ) ale sistemului pentru care x02 = y0 z0 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 5 xy − 5( x + y) + 6 . 5p a) Demonstrați că x ∗ y = 5 ( x − 1)( y − 1) + 1 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ x ∗ x < 26 . 1 1 1 5p c) Determinați numărul natural nenul n pentru care 2 ∗ ∗ = −19 . n ( n + 1) ( n + 2 )2 2 SUBIECTUL al III-lea –- Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte) 2 ( x − 1) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln x − . x x−2 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x2 5p b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcţiei f este perpendiculară pe dreapta de ecuație y = x . π  5p c) Demonstrați că f   < 0 . 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 1 . 3 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) dx = 12 . 0 x 5p b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : ℝ → ℝ , g ( x ) = , axa f ( x) Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 . x 5p c) Demonstrați că există un unic număr real x pentru care ∫ e ( ) dt = x . f t 0 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2