Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 3 ( 3 − 1)( 3 + 1) − 12 = 0 . 5p 2. Determinați numărul real a , pentru care graficele funcțiilor f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x + a se intersectează într-un punct de abscisă x = 1 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 1 = 1 − x . 5p 4. Determinaţi câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {0,1, 2,3, 4} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele d1 , de ecuație y = ax + 2 şi d 2 , de ecuație x y = + 1 . Determinaţi numărul real a , știind că dreptele d1 și d 2 sunt paralele. 4 5p 6. Arătați că sin ( π − x ) cos ( 2π + x ) − sin ( 2π + x ) cos ( π − x ) = sin 2 x , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  −3 −2  1. Se consideră matricele I 2 =  , A=  și M ( x ) = I 2 + x A , unde x este număr real. 0 1 3 2 5p a) Arătați că det ( M (1) ) = 0 . 5p b) Demonstrați că M ( x ) − M ( 2018 ) = M ( −2018 ) − M ( − x ) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați perechea de numere naturale nenule ( m, n ) pentru care M ( m ) M ( n ) = M ( mn ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 8 xy + x + y .  1  1 1 5p a) Arătați că x y = 8  x +  y +  − , pentru orice numere reale x și y .  8  8 8 5p b) Determina ți numerele reale x , pentru care x x = 1 . 5p c) Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 8 x + 1 . Demonstrați că f ( x y z ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) ⋅ f ( z ) , pentru orice numere reale x , y și z . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x2 + 1 . x +3 (1 − x )( x + 3) , x ∈ ℝ . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( ) 2 x2 + 3 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că f ( 2) > f (3 3) . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x e x . 3 x f ( x) 5p a) Arătați că ∫ dx = 9 . 0 ex 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f are un singur punct de inflexiune. 5p c) Determinați numărul natural nenul n , pentru care suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 și x = n are aria egală cu 1. Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1