Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul real x , știind că numerele x + 2 , 7 și 2x sunt în progresie aritmetică. 5p 2. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuației x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m2 − 2m = 0 . Determinați numărul real x1 x2 m , m ≠ 0 , m ≠ 1 pentru care + = 4. x2 x1 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 52 x = 125 ⋅ 5− x . 5p 4. Determinaţi probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii M = {1, 2, 3,… , 10} , aceasta să conțină elementul 10. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,1) , B ( 2,3) și C ( 3, a ) , unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care punctele A , B și C sunt coliniare. 1 π  5p 6. Arătați că 2 2 tg x + 1 = 0 , știind că sin x = și x ∈  , π  . 3 2  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x +1 x −1   2  1. Se consideră matricea A ( x ) =  2  , unde x este număr real.  x −1 x +1    2 2  5p a) Calculați det ( A ( 3) ) . 5p b) Demonstrați că det ( A ( x ) ) ⋅ det ( A ( y ) ) = det ( A ( xy ) ) , pentru orice numere reale x și y . ( ) 5p c) Demonstrați că det ( A (1) + A(2) + … + A (n)) = n det ( A(1)) + det ( A (2)) + … + det ( A (n)) , pentru orice număr natural nenul n .  1 3 1 0 1 0 2. Se consideră matricele A =  , B =  și I 2 =  .  0 8 2 1 0 1 5p a) Calculați A − B . 1 0 5p b) Arătați că ( A + I 2 ) ⋅ ( B − I 2 ) = 6  . 3 0 5p c) Demonstrați că, dacă X ∈ M2 ( ℝ ) astfel încât X ⋅ A = A⋅ X și X ⋅ B = B ⋅ X , atunci X ⋅ Y = Y ⋅ X , pentru orice Y ∈ M2 ( ℝ ) . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x 2 + ax + 6 1. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = , unde a este număr real. x +1 5p a) Pentru a = 7 , calculaţi lim f ( x ) . x → −1 5p b) Determinați numărul real a , pentru care dreapta de ecuaţie y = x + 2 este asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real a , funcția f nu admite asimptotă orizontală spre +∞ . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  2mx  , x ∈ ( −∞, −2 ) 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  2 − x , unde m este număr real.  2 x + 4 − m, x ∈ [ −2, +∞ )  5p a) Demonstrați că funcţia f este continuă pe ℝ , pentru orice număr real m . 5p b) Pentru m = 1 , rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația f ( x ) = 0 . 5p c) Determinați numărul real m pentru care lim f ( x ) = lim ( f ( x ) − 2 x ) . x → −∞ x → +∞ Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 2 din 2