Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , ştiind că a1 = 4 și a2 = 7 . 5p 2. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuației x 2 − 4 x + 1 = 0 . Arătați că 4 x1 x2 − ( x1 + x2 ) = 0 . 1 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x+1 = . 8 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 15 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,1) , B (1,1) și C ( 3, a ) , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctele A , B și C sunt coliniare. 3 5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 4 3 , AC = 4 și sin C = . Calculați sin B . 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  0 x  1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  x 0  5p a) Arătați că det ( A (1) ) = −1 . 1 0 5p b) Demonstrați că A ( x ) A ( y ) = xyI 2 , pentru orice numere reale x și y , unde I 2 =  . 0 1 a 5p c) Determinați numărul real a , știind că A 3 A 3 a +1 ( ) ( ) ( A 3a + 2 = A ( 27 ) . ) 2. Se consideră polinomul f = X 3 + mX 2 + 2 X − 4 , unde m este număr real. 5p a) Pentru m = 1 , arătați că f (1) = 0 . 5p b) Arătați că, dacă polinomul f se divide cu X + 2 , atunci restul împărțirii lui f la X + 3 este egal cu −1 . 1 1 1 1 5p c) Determinați numărul real m , știind că + + + x1 + x2 + x3 = , unde x1 , x2 și x3 sunt x1 x2 x3 2 rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x + 2017 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex − ( x + 2016 ) 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x∈ℝ . ex 5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că funcția f este convexă pe [ −2015, +∞ ) . 1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 . x +1 1 1 4 5p a) Arătați că ∫ dx = . 0 f ( ) x 3 π 5p b) Determinați primitiva F a funcţiei f , știind că F (1) = + 1. 4 n 1 5p c) Determinați numărul natural n , știind că ∫ x f ( x ) dx = ln 5 . 0 2 Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1