Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați rația progresiei geometrice ( bn )n≥1 , știind că b3 = 5 şi b4 = 10 . 5p 2. Determinați valoarea maximă a funcției f : [1,5] → ℝ , f ( x ) = x − 3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x 2 + 12 = x + 2 . 5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3, 4 ) şi B (1,0 ) . Determinaţi ecuația dreptei AB . π 5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , în care AB = 6 şi C = . 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 + x −x  1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  2x 1 − 2x  5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că A ( x ) A ( y ) = A ( x + y − xy ) , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numerele reale x , x ≠ 1 , pentru care matricea A ( x ) este egală cu inversa ei. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 2 xy − 6 x − 6 y + 21 . 5p a) Arătați că x y = 2 ( x − 3)( y − 3) + 3 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Arătați că 1 2 3 4 = 3 . 5p c) Determinați numerele reale x , pentru care x x x = x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − ln x . x −1 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Demonstrați că funcţia f este convexă pe intervalul ( 0,+∞ ) . 5p c) Demonstrați că ln x ≤ x − 1 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x +1 2 1 ( ) 5p a) Arătaţi că ∫ x + 1 f ( x ) dx = 1 . 2 0 π 1 5p b) Demonstrați că ∫ x f ( x ) dx = 1 − 2 . 0 4 n +1 5p c) Determinaţi numerele naturale n , ştiind că ∫ 2 x f ( x ) dx = ln 2 . n Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1