Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați rația progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a3 = 6 şi a4 = 8 . 5p 2. Determinați valoarea minimă a funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 9 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x2 + 3 = x + 1 . 5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,1) şi B ( 0,3) . Determinaţi ecuația dreptei AB . π 5p 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC în care AB = 8 şi C = . 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 2  x 2 1. Se consideră matricele A =   şi B ( x ) =   , unde x este număr real. 3 4  3 6 5p a) Arătați că det A = −2 . 1 0 5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det ( B ( x ) + I 2 ) = 8 , unde I 2 =  . 0 1 5p c) Determinaţi numărul real x pentru care A ⋅ B ( x ) = B ( x ) ⋅ A . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = xy − 7 x − 7 y + 56 . 5p a) Arătați că ( −7 ) ∗ 7 = 7 . 5p b) Arătați că x ∗ y = ( x − 7 )( y − 7 ) + 7 , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Calculați 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ⋯ ∗ 2015 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = e x − ln x + x . f ( x ) − f (1) 5p a) Arătați că lim =e. x −1 x →1 5p b) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Arătați că funcţia f este convexă pe intervalul ( 0, +∞ ) . 1 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x +1 1 1 3 5p a) Arătaţi că ∫ dx = . 0 f ( x) 2 1 1 5p b) Arătați că ∫ x f ( x ) dx = − + ln 2 . 2 0 2 5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [ 0,1] → ℝ , g ( x) = f ( x) . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1