Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați a2015 , știind că ( an )n≥1 este progresie aritmetică cu a1 = 2015 și r = −1 . 5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că punctul A ( 2, −3) aparţine graficului funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − ( 2m + 1) x + 3 . 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 1 − x − 1 = 2 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu 2 elemente ale mulțimii {1, 2, 3,..., 9} , aceasta să fie formată doar din pătrate perfecte. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 5, −2 ) şi C (1, 2 ) . Determinaţi coordonatele punctului B , ştiind că patrulaterul OABC este paralelogram. 5p 6. Se consideră dreptunghiul ABCD cu AB = 3 3 și BD = 6 . Calculaţi aria triunghiului ABC . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 x 4 1. Se consideră determinantul D ( x ) = 2 x − 1 7 − x , unde x este număr real. 1 −2 x2 5p a) Calculați D (1) . 5p b) Arătaţi că D ( x ) = − ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) , pentru orice număr real x . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia D 2 − 3 = 0 . x ( )  1 + 3a −6a  2. Se consideră matricea X ( a ) =  , unde a este număr real.  a 1 − 2a  5p a) Arătați că X ( −1) + X (1) = 2 X ( 0 ) . 5p b) Arătați că X ( a ) ⋅ X ( b ) = X ( a + b + ab ) , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care matricea X ( a ) este inversabilă. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x −1 5p a) Arătați că dreapta de ecuație x = 1 este asimptotă verticală la graficul funcției f . f ( x) − 4 5p b) Calculați lim . x−2 x→ 2 5p c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . e x +1 − 3, x ≤ −1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  , unde a este număr real. 2 x + ( a − 3) x − 4, x > −1 3 5p a) Determinaţi numărul real a pentru care funcţia f este continuă în x = −1 . 5p b) Arătaţi că f ( x ) + 2 ≤ 0 , pentru orice x ≤ −1 . 5p c) Pentru a = −1 , arătaţi că ecuația f ( x ) = 0 are cel puţin o soluţie în intervalul [ 0,2] . Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1