Matematică 2015

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( an )n ≥1 , ştiind că a1 = 3 și raţia r = 2 . 5p 2. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 2 x − 2 . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x2 − 4x + 5 = 1 . 5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4, 5} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,3) , B ( −2,1) şi C ( −2,5 ) . Determinaţi  lungimea vectorului AM , știind că M este mijlocul segmentului BC . 1  π 5p 6. Calculați ctg a , ştiind că sin a = și a ∈  0,  . 3  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 2 x 1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real. 1 3 5p a) Calculaţi det ( A ( 3) ) . 5p b) Arătați că A ( −2015 ) + A ( 2015 ) = 2 A ( 0 ) . 5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care det ( A ( x ) ) = x 2 . 2. În ℤ 5 [ X ] se consideră polinomul f = X 3 + aX , unde ℤ 5 = 0, ɵ 1, ɵ 2, ɵ 3, { ɵ 4ɵ și a ∈ℤ . 5 } 5p a) Calculaţi f 0ɵ . () 5p b) Determinaţi a ∈ ℤ 5 , știind că f 3ɵ = 3ɵ . () () ( ) 5p c) Arătaţi că, dacă f 1ɵ = f 2ɵ , atunci f 3ɵ = f 4ɵ . () () SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x + ln x 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x 1 − ln x 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x2 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x0 = 1 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f . 1 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x + . x +1 1  1  5p a) Calculați ∫  f ( x ) −  dx . 0  x + 1  1 4 5p b) Arătaţi că ∫ x f ( x ) dx = − ln 2 . 0 3 5p c) Determinaţi numărul natural nenul n , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , 1 axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 , x = 1 , are aria egală cu + ln n 2 + n . 2 ( ) Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1