Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați al doilea termen al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a1 = 1 și rația r = 2 . 5p 2. Determinaţi numărul real m , știind că punctul A ( m,0 ) aparține graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x) = x + 1 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + 4 = log 2 8 . 2 ( ) 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2,3,4,5,6,7,8} , acesta să fie divizibil cu 3. 5p 5. Determinaţi numărul real a , știind că vectorii u = ( a + 1) i + 4 j și v = i + 2 j sunt coliniari. 3 1  π 5p 6. Arătați că sin 2 x = , știind că sin x = și x ∈  0,  . 2 2  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 3 1. Se consideră matricea A ( a ) =   , unde a este număr real.  a −1 2  5p a) Arătați că A ( 2014 ) + A ( 2016 ) = 2 A ( 2015 ) . 5p b) Determinați numărul real a pentru care det ( A ( a ) ) = 0 . 5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det ( A ( 2 ) + xA ( 3) ) = 0 . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = − xy − x − y − 2 . 5p a) Arătați că ( −1) ∗ 1 = −1 . 5p b) Arătaţi că x ∗ y = − ( x + 1)( y + 1) − 1 , pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( x + 2 ) ∗ ( 2 x − 3) = 5 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16 . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = 4 x ( x − 2 )( x + 2 ) , x ∈ ℝ . f ( x ) − x4 5p b) Calculați lim . x2 + 1 x → +∞ 5p c) Determinaţi coordonatele punctelor situate pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu axa Ox . x+2 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x 2 7 5p a) Arătați că ∫ x f ( x ) dx = . 1 2 5p b) Demonstrați că funcția F : ( 0, +∞ ) → ℝ , F ( x ) = x + 2 ln x + 2015 este o primitivă a funcției f . 5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcţiei g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = ( f ( x ) − 1) ln x , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 și x = e are aria egală cu 1. Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii Pagina 1 din 1