Matematică 2025

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1  4  i și z2  2  4i . Arătați că i  z1  z2  1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   x 2  3 x  5 . Determinați numerele reale a pentru care punctul A  a,5  aparține graficului funcției f . 1 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 6  7 x  5   log 6  x  1  . log x 6 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui 9 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A  2,0  , B  2, 4  și C  5, a  , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că dreptele OB și AC sunt paralele. 4 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AB  6 , BC  10 și cos B  . Arătați că aria triunghiului ABC 5 este egală cu 18 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0  0 0 1  1 x 0       1. Se consideră matricele I 3   0 1 0  , A   1 0 0  și B  x    0 1 x  , unde x este 0 0 1  0 1 0   x 0 1        număr real. 5p a) Arătați că det A  1 . 5p b) Arătați că A  B  x   A  xI3 , pentru orice număr real x . 5p c) Pentru fiecare număr real x se consideră matricea C  x  astfel încât A  C  x   B  x  . Arătați că C  x   C  y    y  x  A , pentru orice numere reale x și y . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x  y  x 2 y  xy 2  x  y . 5p a) Arătați că 1  3  16 . 2 5p b) Determinați numerele reale nenule x pentru care x   9 x . x 5p c) Determinați perechile  m, n  de numere întregi, cu m  n , pentru care m  n  1 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ln x 1. Se consideră funcția f :  0,    ℝ , f  x   . x3 1  3ln x 5p a) Arătați că f '  x   , x   0,   . x4 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f . 5p c) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f  x   m are cel puțin o soluție. Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 2. Se consideră funcția f : ℝ  ℝ , f  x   e x  x 2  1 . 4  5p a) Arătați că  f  x   e x dx  18 .  1 2 ex 5p b) Arătați că  dx  ln  e  1 . 1 f  x   x2 1 x 2 5p c) Demonstrați că  dx  1  . 0 f  x 1 e Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2