Matematică 2025

Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare Examenul național de bacalaureat 2025 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 1 − i și z2 = 2 + i . Arătați că 2 z1 + iz2 = 1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 3 . Determinați numărul real a pentru care (f f )( a ) = 9 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x 2 − 3x + 2 = x . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului 26 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,1) , B ( 5, 0 ) , C ( 6,3 ) și D ( a , b ) , unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b , știind că segmentele AC și BD au același mijloc. 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AB = 2 și tgB = 3 . Arătați că BC = 2 10 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2 − 3x 0 x    1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 2 0  , unde x este număr real.  −9 x 0 2 + 3x    5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 8 . 5p b) Arătați că A ( x ) ⋅ A ( y ) = 2 A ( x + y ) , pentru orice numere reale x și y . 5p ( ) c) Determinați numerele reale x pentru care ( A ( x ) + A ( 3 x ) ) ⋅ A ( 2 x ) = 4 A x 2 . 2. Se consideră polinomul f = aX 3 + 3 X 2 − aX − 6 , unde a este număr real nenul. 5p a) Arătați că f (1) = −3 , pentru orice număr real nenul a . 5p b) Pentru a = 1 , determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X 2 + 3 X − 1 . 5p c) Determinați numărul real nenul a pentru care (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + x3 ) = 1 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 x + ln x . x+2 2 ( x + 1) 2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x ( x + 2) 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă. x2 2. Se consideră funcția f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . ( x + 1)3 3 a) Arătați că  f ( x )( x + 1) dx = 9 . 3 5p 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației și Cercetării Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare 1 5p b) Arătați că  f ( x )( x + 1)dx = 1 − ln 2 . 0 5p c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : ℝ → ℝ , g ( x ) = ( ) , axa Ox f ex ex e −1 și dreptele de ecuații x = −1 și x = 1 este egală cu . 2 ( e + 1) Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2