Matematică 2024

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2024 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați termenul a3 al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , în care a1 = 2 și a2 = 12 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = x − 8 . Determinați numărul real m pentru care f (1 + m ) = 1 − m . 5p ( 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg x 2 − 3 x + 5 = lg 5 . ) 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul n + 1 să fie natural. 5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 2 ) , B ( 3,0 ) și C ( 5, a ) , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că dreptele OA și BC sunt paralele. π 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AC = 9 și B = . Arătați că AB = 3 3 . 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 x x    1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 0 x − 1 , unde x este număr real. x 1 1   5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 3 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care A ( x ) ⋅ A (1) = 2 A ( x ) . 5p c) Arătați că, dacă matricea A ( x ) este inversabilă, atunci și matricea A ( − x ) este inversabilă. 2x + 2 y −1 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = xy + . 4 7 5p a) Arătați că 1 1 = . 4 1 5p b) Arătați că e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ”. 2 1  1  1 2 1 2 5p c) Determinați numerele reale x pentru care  − x   + x   + x  = − x .  2   2   2  2 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 4 x3 1. Se consideră funcția f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . ( x − 1)2 4 x 2 ( x − 3) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) . ( x − 1)3 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Arătați că ecuația f ( x ) = m are exact două soluții, pentru orice m ∈ ( 27, +∞ ) . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație 2. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x + 1 + x ln x . 3 5p a) Arătați că  ( f ( x ) − x ln x ) dx = 6 . 1 e2 + 1 e 5p b) Arătați că  ( f ( x ) − x − 1) dx = . 1 4 5p c) Determinați numărul real nenul a pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox 1 7π a graficului funcției g : [1,3] → ℝ , g ( x ) = este egal cu . ( f ( x ) − x ln x ) 2 24a Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2