Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2023 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Model Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) −1 2 1 5p 1. Arătați că   +2 = 5 . 5 2 5p 2. Se consideră funcția f : → , f ( x ) = x + 1 . Determinați numărul real a pentru care f ( a ) este media aritmetică a numerelor f (1) și f ( 5 ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x − 1 + 3 = 5 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = 1, 2,3,..., 2022 , acesta să fie multiplu de 2. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,3) , B ( −2, −1) și C (1, −1) . Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic. 5p 6. Lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC este 5 , iar BC = 10 . Calculați sin A . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = xy + 8 ( x + y ) + 56 . 5p 1. Arătați că ( −5 ) ( −6 ) = −2 . 5p 2. Demonstrați că x y = ( x + 8 )( y + 8 ) − 8 , pentru orice numere reale x și y . 5p 3. Arătați că e = −7 este elementul neutru al legii de compoziție „ ” . 5p 4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația x ( x + 2 )  −8 . 5p 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x ( −7 ) = 16 . 5p 6. Determinați numărul real a pentru care 2 ( a 1) = a + ( a 2 ) . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 0  0 3 Se consideră matricele I 2 =  , A =   şi M ( x ) = I 2 + xA , unde x este număr real. 0 1  2 1 5p 1. Arătați că det A = −6 . 1 3x  5p 2. Demonstrați că M ( x ) =   , pentru orice număr real x .  2 x x + 1 3. Arătați că suma elementelor matricei B este pătratul unui număr natural, unde B = ( −1)  M ( −1)  M (1) . 5p 5p 4. Determinați numerele reale x pentru care det ( M ( x ) ) = 0 . 5p 5. Arătați că matricea C este inversabilă, unde C = M (1) − M ( 2 ) + M ( 3) − M ( 4 ) . 5p 6. Determinați perechile ( a, b ) de numere naturale pentru care aM (b) + bM (a) = I 2 . Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare Pagina 1 din 1