Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Varianta 7 Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 50 − 5 ( 2 − 1) = 5 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = x 2 − 3x + a , unde a este număr real. Arătați că f (1) = f ( 2 ) , pentru orice număr real a . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log3 ( x + 2 ) = log 3 ( 4 − x ) . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3, a ) , B (1,0 ) și C ( 5, 2 ) , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctul A este mijlocul segmentului BC . 5p 6. Arătați că sin 30° + 2 cos 45° + cos 60° = 2 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 3 ( 4 − x − y ) + xy . 5p 1. Arătați că 3 ∗ 0 = 3 . 5p 2. Demonstrați că x ∗ y = ( x − 3)( y − 3) + 3 , pentru orice numere reale x și y . 5p 3. Arătați că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 7 3 5p 4. Arătați că este simetricul lui în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”. 3 2 5p 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 x ∗ 3x = 3 . 5p 6. Calculați 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ ... ∗ 2023 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)  −1 2  1 0 a + 2 1 Se consideră matricele A =   , I2 =   și B ( a ) =   , unde a este număr real.  2 1 0 1  1 a 5p 1. Arătați că det ( B ( 0 ) ) = −1 . 5p 2. Arătați că A ⋅ A = 5I 2 . 5p 3. Determinați numerele reale a pentru care det ( B ( a ) + A) = 0 . 5p 4. Determinați numărul real a pentru care B ( a ) ⋅ B ( −2 ) = B ( 0 ) − I 2 . 5p 5. Demonstrați că matricea B ( a − 1) este inversabilă, pentru orice număr rațional a . 5p 6. Determinați matricea X ∈ M2 ( ℝ ) , știind că X ⋅ B ( 0 ) = A . Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 7 Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare Pagina 1 din 1