Matematică 2023

Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numerele reale a și b pentru care ( a + bi )(1 + i ) = 4 , unde i 2 = −1 . 5p 2. Se consideră funcția f :ℝ → ℝ, f ( x ) = mx 2 − 2 x + m , unde m este număr real nenul. Determinați numerele reale m pentru care f ( m − x ) = f ( m + x ) , pentru orice număr real x . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log 2 ( 2 x ) − 1 = log 2 x 2 + x + 2 . ( ) 5p 4. Se consideră mulțimile A = {1,2,3,4} și F = { f f : A → A} . Determinați probabilitatea ca, alegând un element f din mulțimea F , acesta să verifice inegalitatea f ( n ) ≤ n , pentru orice n ∈ A . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A( 5,3) și B ( −1,5) . Determinați coordonatele punctului C , știind că CA + CB = 2OC . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AB = 8 , măsura unghiului C de 30° și punctul O , centrul cercului circumscris triunghiului ABC . Determinați distanța de la punctul O la latura AB . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  3 a −2  3 x + ay − 2 z = b    1. Se consideră matricea A ( a ) =  2a + 1 1 − a −1 și sistemul de ecuații ( 2a + 1) x + (1 − a ) y − z = c ,  a + 2 −2 1  ( a + 2 ) x − 2 y + z = −1    unde a , b și c sunt numere reale. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 5 . 5p b) Determinați numerele reale a pentru care matricea A ( a ) este inversabilă. 5p c) Determinați numerele reale b și c pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real a . 2. Se consideră polinomul f = X 4 + aX 3 + aX 2 + 8 X − 8 , unde a este număr real. 5p a) Arătați că f ( −1) = −15 , pentru orice număr real a . 5p b) Determinați numărul real a pentru care restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X 2 − 1 este egal cu 15 X . 5p c) Arătați că, pentru orice număr real a , polinomul f nu are toate rădăcinile numere întregi. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ( 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 1 − x − x 4 − 1 arctg x .) 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = − x ( 4 xarctg x + 1) , x ∈ ℝ . 2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f care este paralelă cu axa Ox . 5p c) Demonstrați că tg( f ( x ) ) ≥ f ( x ) ≥ f ( tg x ) , pentru orice x ∈ [ 0,1] . Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educației Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație x2 + ex 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . 1 + e− x 3 5p a) Arătați că  1 + e −x ( ) f ( x ) dx = 8 + e3 . 0 m f ( x) 5p b) Arătați că  x2 + e x dx = m , pentru orice m ∈ ( 0, +∞ ) . −m  1 x  5p c) Determinați numărul real nenul a pentru care lim   f ( t ) dt  =1. x →0  e ax − 1   0  Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2