Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 1 − 2i și z2 = 2 + i . Arătați că ( z1 + i )( z2 − 1) = 2 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 4 x + m , unde m este număr real. Determinați valorile reale ale lui m pentru care f ( x ) > 0 , pentru orice număr real x . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + 2log 2 x − 2 = log 2 x . 5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A , acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea A . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −2, − 2 ) , B ( 3,1) și M ( 2, 4 ) . Determinați coordonatele punctului N , știind că patrulaterul ABMN este paralelogram. 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , în care sin ( A + B ) + cos C = 1 . Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic. SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 3 a   x + 3 y + az = 2    1. Se consideră matricea A ( a ) =  2 1 −1 și sistemul de ecuații  2 x + y − z = −1 , unde a este a 3 1   ax + 3 y + z = 1    număr real. 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 0 . 5p b) Arătați că B ( a ) ⋅ B ( a ) ⋅ B ( a ) = a3 B (1) , pentru orice număr real a , unde B ( a ) = A ( a ) − A ( 0 ) . 5p c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 ≤ 0 , pentru orice soluție ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului de ecuații, cu x0 , y0 și z0 numere reale. z1 + z2 2. Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție z1 ∗ z2 = . 4 ⋅ z1 z2 + 1 1 5p a) Arătați că ( −1) ∗ 2 = . 9 5p b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 5p c) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea z∗z = z . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x 4 + 16 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( x2 − 4 )( x2 + 4) , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 2 x 4 + 16 5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 4 5p c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f ( x ) + f   = m are exact două soluții. x x2 + 1 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex 3 5p a) Arătați că ∫ e f ( x ) dx = 12 . x 0 1 5p b) Arătați că orice primitivă G a funcției g : ℝ → ℝ , g ( x ) = este convexă. f ( x) 1 x3 a− 2 5p c) Determinați numărul real a pentru care ∫ dx = . 0 ex f ( x) 3 Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2