Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 2i ( 3 − i ) − 6i = 2 , unde i 2 = −1 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x 2 − mx , unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care f ( −1) = f (1) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27 x −1 = 9 x . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu 3 . 5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(3,2) și B (1, −1) . Determinați coordonatele punctului C pentru care AC = 2 BC . 2x  π π  5p 6. Se consideră expresia E ( x ) = sin 2 x − 2 tg x ⋅ sin , unde x ∈  0,  . Arătați că E   = 0 . 3  2 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0  x 1− x 1 1. Se consideră matricele I3 =  0 1 0  și A ( x ) = 1 − x   x  1  , unde x este număr real. 0 0 1  1 1 0     5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 2 . 5p b) Arătați că A (1) ⋅ A( x ) − A ( x − 1) = 2I3 , pentru orice număr real x . 5p c) Determinați numărul real x pentru care A (1) ⋅ A(1) ⋅ A ( x ) = 3 A(1) + 2I3 . xy ( x + y ) 2. Pe mulțimea M = [ 0, +∞ ) se definește legea de compoziție x ∗ y = . xy + 1 5p a) Arătați că 1 ∗ 3 = 3 . 5p b) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” . 1 1 1 5p c) Determinați perechile ( m, n ) de numere naturale nenule, cu m ≤ n , pentru care ∗ = ⋅ (m ∗ n) . m n 16 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 − 3x + 1 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex ( x − 1)( 4 − x ) , x ∈ℝ . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ex 5p b) Arătați că axa Ox este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că ecuația f ( x ) = n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n . 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x x 2 + 4 . 2 f ( x) 5p a) Arătați că  dx = 2 . 0 x2 + 4 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 5 19 5p b) Arătați că  f ( x ) dx = . 0 3 2 xn 5p c) Pentru fiecare număr natural n , n ≥ 2 , se consideră numărul I n =  dx . Determinați numărul 1 f 2 ( x) 3 natural n , n ≥ 2 , pentru care I n + 2 + 4 I n = . n −1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2