Matematică 2021

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.  Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că numărul N  log2 6  2log2 3  log 2 24 este natural. 5p 2. Se consideră funcția f :  , f  x   x 2  x  2 . Arătați că dreapta de ecuație y  2 intersectează graficul funcției f în două puncte distincte. 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţiax 2  5  3x  1 . 5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A , știind că mulțimea A are exact 15 submulțimi cu două elemente. 5p 5. Se consideră triunghiul ABC și punctele M , N și P mijloacele segmentelor BC , BM , respectiv 3 CM . Arătați că AM  AN  AP  AB  AC . 2   5p 6. Determinați x   0,   , știind că sin 2 x  2sin 2 x  0 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1   1. Se consideră matricea A  a, b, c    a b c  , unde a , b și c sunt numere reale.  bc ac ab    5p a) Arătați că det  A  0,1,2    2 . 5p b) Demonstrați că det  A  a, b, c     b  a  c  a  c  b  , pentru orice numere reale a , b și c . 5p c) Demonstrați că, dacă m , n și p sunt numere naturale, cu m  n  p , astfel încât determinantul matricei A  m, n, p  este număr prim, atunci numerele m , n și p sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 2. În mulțimea 3  X  , se consideră polinomul f  X 4  aX 3  2̂ X  b , unde a, b 3 .   5p a) Pentru a  1 și b  2̂ , arătați că f 0  f 2ˆ  2ˆ . 5p b) Determinaţi perechile  a, b  , cu a, b 3 , pentru care polinomul f este divizibil cu X  2̂ . 5p c) Arătați că, pentru orice a, b 3 , există x, y  3 , cu x  y , astfel încât f  x  f  y  . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) xe x 1. Se consideră funcția f :  , f  x  . ex  2 5p a) Arătați că f   x    ex ex  2x  2  , x .  e x  2 2 5p b) Arătați că dreapta de ecuație y  x este asimptotă oblică spre  la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem. Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 2  x  3 2. Se consideră funcţia f :  , f  x  . x2  4 x  5 1 5p a) Arătați că  f  x  x  4 x  5 dx  7 . 2 0 1   5p b) Arătați că  f  x   4 dx  4ln 2 . 2 0 5p c) Se consideră numerele reale a și b , cu 0  a  b . Pentru fiecare număr natural nenul n , se b consideră numărul I n   f n  x  dx . Demonstraţi că lim I n   . n a Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2