Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1 5p 1. Arătați că numărul a = 3 + 2 2 + este natural. 3+ 2 2 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + 1 . Arătați că ( f f )(1) = f ( 2 ) + 2 . 2 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 9 x = 3 ⋅ 3x . 5p 4. Determinați numărul natural nenul n , ştiind că mulţimea A = {1,2,3,…, n} are exact 10 submulţimi cu două elemente. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M (1,0 ) , N ( 7,0 ) și A ( a,3) , unde a este număr real. Știind că AM = AN , arătați că segmentul AO are lungimea egală cu 5. π 5p 6. Se consideră x ∈  0,  pentru care 3cos x − 2 = 2cos 2 x . Calculați cos x .  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 2 − a a   x + (2 − a) y + az = 1    1. Se consideră matricea A (a) =  a 1 1  și sistemul de ecuații  ax + y + z = 2 − a ,  a 2a − 5 a − 2  ax + (2a − 5) y + (a − 2) z = −4    unde a este număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 3 . 5p b) Demonstrați că det ( A ( a ) ) = ( a − 1)( a − 3)( 3a + 1) , pentru orice număr real a . 5p c) Determinați numărul natural a pentru care sistemul are soluție unică ( x0 , y0 , z0 ) și x0 , y0 , z0 sunt numere naturale. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = log 2 2 x + 2 y . ( ) 5p a) Arătați că 0 ∗ 0 = 1 . 5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă. 5p c) Determinaţi numărul real x pentru care ( x ∗ x ) ∗ x = 3 + log 2 3 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 4 − x 2 + 1 . ( x 2x2 − 1 ) , x∈ℝ . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = x4 − x2 + 1 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f .  3  5p c) Demonstrați că, pentru orice m ∈  ,1 , ecuația f ( x ) = m are exact patru soluții reale.  2  Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație x 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x + 2x + 5 2 2 1 31 5p a) Arătați că ∫ x ⋅ dx = . 1 f ( x) 3 1 1 8 1 5p b) Arătați că ∫ g ( x ) dx = ln , unde g : ℝ → ℝ , g ( x ) = f ( x ) + 2 . 0 2 5 x + 2x + 5 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = ∫ x 2n−1 f ( x ) dx . Demonstrați că −1 lim I n = 0 . n→+∞ Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2