Matematică 2020

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( an )n≥1 este egală cu 30 . Determinaţi a2 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 6 x + 9 . Arătați că ( f f )( 3) = 9 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( x − 6 ) = 6 − log 2 ( x + 6 ) . 5p 4. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {0,1, 2,3, 4,5} . 5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul D mijlocul laturii AC și punctul E mijlocul segmentului 1 1 BD . Arătați că CE = CA − BC . 4 2 π 5π 5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 2 3 , A = și B = . Determinaţi raza cercului 4 12 circumscris triunghiului ABC . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) a 2 1 ax + 2 y + z = 4    1. Se consideră matricea A ( a ) =  a 4 1  și sistemul de ecuații  ax + 4 y + z = 6 , unde a este  1 −1 a   x − y + az = 1    număr real. 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 0 . 5p b) Determinați numerele reale a pentru care matricea A ( a ) are rangul 2. 5p c) Determinați numărul real a , știind că sistemul are soluție unică ( x0 , y0 , z0 ) și x0 + y0 + z0 = 3 . 2 2 2 1 3 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − ( x + y ) + . Legea de 2 4 3 compoziție este asociativă și are elementul neutru e = . 2  1  1 1 5p a) Demonstrați că x ∗ y =  x −  y −  + , pentru orice numere reale x și y .  2  2 2 1 1 1 5p b) Determinaţi numerele reale nenule x pentru care ∗ x ∗ = x ∗ ∗ x . x x x 5p c) Arătați că nu există numere întregi x și y , astfel încât x să fie simetricul lui y în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 − 8 x + 8ln x + 12 − 8ln 2 . 2 ( x − 2) 2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A ( 3,3) și este paralelă cu tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2 , situat pe graficul funcției f . Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 5p c) Se consideră numerele reale a , b și c astfel încât punctul M ( a, b ) este situat pe graficul funcției g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = x 2 − 8ln 2 + 8ln x și punctul N ( a, c ) este situat pe graficul funcției h : ( 0, +∞ ) → ℝ , h ( x ) = 8 x − 12 . Demonstraţi că b ≥ c , pentru orice a ∈ [ 2, +∞ ) . x2 − 4 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x2 + 4 1 ( ) 5p a) Arătați că ∫ x + 4 f ( x ) dx = − 2 11 3 . 0 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este concavă pe ( −∞,0] . 2 5p c) Pentru fiecare număr natural n , se consideră I n = ∫ x n f ( x ) dx . Demonstrați că lim I n = −∞ . n→+∞ 1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2