Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) ( )( ) 5p 1. Arătați că numărul z = 1 − i 2 1 + i 2 este natural, unde i = −1 . 2 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 x + a , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că f ( x ) + f (1 − x ) = 7 , pentru orice număr real x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x + 5− x = 2 . 5p 4. Se consideră mulțimea A = {1,2,3,4,5} . Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui A , care îl conțin pe 1. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul M ( −4, 4 ) . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece prin punctul M și este perpendiculară pe dreapta OM . 5p 6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A și sin B = cos B . Arătați că triunghiul ABC este isoscel. SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a a +1 a + 2   2  1. Se consideră matricea A ( a ) =  a + 1 a 2 + 2 a 2 + 3  , unde a este număr real.  1 2 4    5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = −1 . 5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real a , matricea A ( a ) este inversabilă. 5p c) Determinați numerele întregi a pentru care inversa matricei A (a) are toate elementele numere întregi. 1 2. Pe mulțimea A = [1, +∞ ) se definește legea de compoziție x ∗ y = 3 x3 y 3 − x3 − y 3 + 9 . 2 5p a) Arătați că 1 ∗ 2020 = 1 . 5p b) Demonstrați că x ∗ y = 3 1 3 8 ( )( ) x − 1 y 3 − 1 + 1 , pentru orice x, y ∈ A . 5p c) Determinaţi x ∈ A pentru care x ∗ x = x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1 x −1 1. Se consideră funcţia f : ( 2, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = + ln . x−2 x −3x + 4 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 2, +∞ ) . x ( x − 1)( x − 2 ) 2 5p b) Determinaţi ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f . 1 x 5p c) Demonstrați că > ln , pentru orice x ∈ ( 2, +∞ ) . x−2 x −1 x 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x3 + 1 1 3 2 ( ) 5p a) Arătați că ∫ x + 1 f ( x ) dx = 1 3 . 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 1 1 5p b) Arătați că ∫ f ( x ) dx = ln 2 . 2 0 3 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = ∫ f x n dx . Demonstrați că( ) 0 lim I n = 0 . n→+∞ Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2