Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numărul complex z = 2 + i . Arătați că z 2 − 4 z + 5 = 0 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + x + a , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctul M ( 0, 2 ) aparține graficului funcției f . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x = 3 x3 + 2 x . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea {1, 2,3, 4,5} , acesta să aibă cifra zecilor egală cu 2 și cifra unităților egală cu 3 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0,1) , B ( 2,3) și C ( 4, a ) , unde a este un număr real. Determinați numărul real a , știind că punctul C este situat pe mediatoarea segmentului AB . 5p 6. Măsurile unghiurilor A , B și C ale triunghiului ABC sunt, în această ordine, termeni consecutivi π ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului B este egală cu . 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 0 1 + ln x    1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 x 0  , unde x ∈ ( 0, +∞ ) . 0 0 1   5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 1 . 5p b) Demonstrați că A ( x ) A ( y ) = A ( y ) A ( x ) , pentru orice x, y ∈ ( 0, +∞ ) . 1 0 n  1  1    5p c) Determinați numărul natural n pentru care A   ⋅ A  ⋅ A(1) ⋅ A(2) ⋅ A(3) =  0 1 0  .  3  2  0 0 1   2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − 4 ( x + y ) + a , unde a este număr real. 5p a) Pentru a = 10 , arătați că 1 ∗ 2 = 0 . 5p b) Pentru a = 20 , arătați că e = 5 este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”. 5p c) Demonstrați că, dacă a ∈ [ 20, +∞ ) , atunci mulțimea H = [ 4, +∞ ) este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ( 0, +∞ ) , f ( x ) = 6 x − 3x + 2 x . 5p a) Arătaţi că f ′ ( 0 ) = ln 4 . 5p b) Se consideră tangenta la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . Determinați numărul real a pentru care punctul A ( a,ln (16e ) ) este situat pe această tangentă. ln ( f ( x ) ) 5p c) Calculați lim . x →0 x Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 2x 2 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 1 − − . x +3 2 x +3 2 2 ( ) 1 5p a) Arătaţi că ∫ x + 3 f ( x ) dx = . 2 3 1 1 4 π 3 5p b) Arătaţi că ∫ f ( x ) dx = 1 − ln − . 0 3 9 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = ∫ f n ( x ) dx . Arătați că lim I n = 0 . n→+∞ 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2