Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice ( bn )n≥1 , știind că b1 = 1 și b2 = 3 . 5p 2. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuației x 2 + mx + 7 = 0 , unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care 2 x1 + 2 x2 + 3 x1 x2 = 1 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( x − 2 ) + log 2 ( x + 2 ) = 5 . 5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1, 2,3, 4,5} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,6 ) și B ( 6, 2 ) . Determinaţi coordonatele punctului M , știind că AM = MB . 2π 5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 3 3 , AC = 4 și A = . Arătaţi că aria triunghiului ABC 3 este egală cu 9 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) a 1 1  ax + y + z = 1    1. Se consideră matricea A ( a ) =  1 − a −1 și sistemul de ecuații  x − ay − z = 1 , unde a este 1 1 a   x + y + az = 2    număr real. 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 0 . 5p b) Demonstrați că det ( A ( a ) ) = a (1 − a )(1 + a ) , pentru orice număr real a . 5p c) Pentru a = 0 , demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma ( x0 , y0 , z0 ) cu x0 , y0 și z0 numere întregi. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = ( x − 2019 )( y − 2019 ) + 2019 . 5p a) Arătați că x ∗ 2019 = 2019 , pentru orice număr real x . 5p b) Determinați numerele reale x , știind că ( x ∗ x ) ∗ x = x . 5p c) Determinaţi perechile de numere întregi m și n pentru care m ∗ n = 2020 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − ln x . x −2 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . 2x 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f , în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . x 5p c) Demonstraţi că x − ln ≥ 2 , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 4 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare x2 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x2 + 9 1 ( ) 5p a) Arătați că ∫ x + 9 f ( x ) dx = . 2 1 3 0 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f are un singur punct de inflexiune. 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră I n = ∫ x f ( x ) dx . Arătați că lim I n = 0 . 2n n→+∞ 0 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2