Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 2 z + iz = 4 + 5i , unde z este conjugatul lui z . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 − 2 x . Determinați valorile reale ale lui x pentru care (f f )( x ) < x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x +1 ⋅ 3 27 = 33 . 2 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând o submulțime dintre submulțimile cu două elemente ale mulțimii A = {0,1, 2,3, 4,5} , aceasta să conțină numai numere pare. 5p 5. Se consideră dreptunghiul ABCD cu AB = 8 , AD = 4 și punctul M , mijlocul laturii CD . Calculați lungimea vectorului v = DC + BM . 2x 8x π  5p 6. Se consideră E ( x ) = sin − cos , unde x este număr real. Arătați că numărul E   este 3 3 4 natural. SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  a 2 + a a 2 − a 1 1 0 0     1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  și A ( a ) =  a 2 − a a 2 + a 1 , unde a este număr real. 0 0 1      0 0 1   5p a) Arătați că det ( A ( −2 ) ) = −32 . 5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care det ( A ( x ) − xI 3 ) ≥ 0 . ( ) 5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele Pa a + a, a − a , unde a este număr real. 2 2 Demonstrați că pentru orice număr real nenul a , punctele Pa , P− a și O nu sunt coliniare. 1 0 x   2. Se consideră matricea M ( x ) =  0 2 x 0  , unde x este număr real. 0 0 1   5p a) Demonstrați că M ( x ) ⋅ M ( − x ) = M ( 0 ) , pentru orice număr real x . 5p b) Calculați inversa matricei M ( x ) , x ∈ ℝ . ( ) 5p c) Arătați că det ( M (1) + M ( 2 ) + … + M ( n ) ) = 2n 2 − 1 , pentru orice număr natural nenul n . 2 n SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 + 2 x 1. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . ( x + 1)2 f ( x) 5p a) Calculați lim . x x →0 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că șirul ( an )n≥1 cu an = f (1) ⋅ f ( 2 ) ⋅ f ( 3) ⋅ … ⋅ f ( n ) este descrescător. Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2 x + sin ( x − 1) + m, x ≤ 1  2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  3x − 2 − 1 , unde m este număr real.  , x > 1  x2 − 1 3 5p a) Arătați că lim f ( x ) = . x →1 4 x >1 5p b) Determinați numărul real m pentru care funcţia f este continuă pe ℝ . 5 5p c) Pentru m = − , demonstrați că ecuația f ( x ) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul ( 0,2 ) . 4 Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2