Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XII-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați partea întreagă a numărului real a = 3 125 + 5 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + m , unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că ( f f )( x ) = f ( x + 1) , pentru orice număr real x . 4 x +1 3 x +5 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia   2 2 ≤  . 3 3 5p 4. Determinați numărul de submulțimi cu cel puțin trei elemente ale mulțimii A = {0,1, 2,… ,9} . 5p 5. Se consideră triunghiul MNP cu MN = 6 , MP = 8 și m ( ∢M ) = 90° . Calculați lungimea vectorului u = MN + MP . π  5p 6. Determinaţi numărul real x , știind că tg x + ctg x + 2 = 0 și x ∈  , π  . 2  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x 0 2 x − 1   1 1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 0  , unde x este număr real.  2   2x −1 0 x   5p a) Determinați numerele reale x pentru care det ( A ( x ) ) = 0 . 1 5p b) Demonstrați că A ( x ) + A (1 − x ) = 2 A   , pentru orice număr real x . 2 1 1 5p c) Determinați numărul real x pentru care A ( x ) ⋅ A (1 − x ) = A  . 2 2 ɵ 1, 2. Pe mulţimea ℤ 20 = 0, { ɵ 2, } ɵ …, 19 se defineşte legea de compoziţie x y = xy + 3ɵ x + 3ɵ y + 9ɵ . ( )( ) 5p a) Demonstrați că x y = x + 3ɵ y + 3ɵ , pentru orice x, y ∈ ℤ 20 . 5p b) Determinați a ∈ ℤ 20 , știind că a x = 0ɵ pentru orice x ∈ ℤ 20 . { } 5p c) Dați exemplu de a, b ∈ ℤ 20 \ 17 pentru care a b = 0ɵ . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 x 2 − x . f ( x) −1 7 5p a) Arătați că lim . = x →1 x − 1 2 5p b) Determinați imaginea funcției f . x 3 5p c) Demonstrați că 2e 2 x − e 2 + ≥ 0 , pentru orice număr real x . 8 Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = arctg x . 1 1 5p a) Arătaţi că ∫ f ( tg x ) dx = . 0 2 1 f ( x) 5p b) Calculați ∫ dx . 0 x 2 + 1 π π 1 1 1 5p c) Demonstrați că − ≤ ( n + 1) ∫ x n f ( x ) dx ≤ − , pentru orice număr natural nenul n . 4 n+2 0 4 2 ( n + 2) Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2