Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați suma numerelor întregi din intervalul ( −5, 5 ) . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 1 . Calculați ( f f )(1) . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 3 = x − 3. 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3,… , 100} , acesta să fie multiplu de 11. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 2, 2 ) și N ( 4,2 ) . Determinați coordonatele punctului P , situat pe axa Ox , astfel încât PM = PN . 5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC , în care AB = 6 2 şi C = π . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 1   1. Se consideră matricea A ( x ) =  1 2 x 4 x  , unde x este număr real. 1 x 2x    5p a) Arătaţi că det ( A (1) ) = 1 . ( )( ) 5p b) Demonstrați că det ( A ( x ) ) = 2 − 1 2 + x − x ⋅ 2 , pentru orice număr real x . x x x  2017 2017 2017    5p c) Arătați că A (1) + A ( 2 ) + A ( 3) + … + A ( 2017 ) =  2017 2 2 2017 −1 ( ) ( 4 2017 3 4 ) −1  .   2017 2017 ⋅ 1009 2017 ⋅ 2018   2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 7 xy + 7 x + 7 y + 6 . 5p a) Arătați că x ∗ y = 7 ( x + 1)( y + 1) − 1 , pentru orice numere reale x și y . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x ∗ x = x . 5p c) Demonstrați că, dacă a , b și c sunt numere naturale astfel încât a ∗ b ∗ c = 48 , atunci numerele a , b și c sunt egale. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 − 3 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . ex − x2 + 2 x + 3 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x∈ℝ . ex 5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = −1 , situat pe graficul funcției f . 6 5p c) Demonstrați că −2e ≤ f ( x ) ≤ , pentru orice x ∈ [ −1, +∞ ) . e3 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare x 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . ( x + 1)2 2 x +1 3 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) dx = ln . 1 x 2 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare pe intervalul ( 0,+∞ ) . 5p c) Determinați numărul real m , m > 0 , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = x ( x + 1) f ( x ) , axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 2 are aria egală m +1 cu 1 − ln . m Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2