Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 2 + 3i și z2 = 4 − 6i . Arătați că numărul z1 z2 + 2 z1 + z2 este real. 5p 2. Calculați ( f
g )( 0 ) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x − 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x 2 + x + 1 . ( ) 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x − 4 = log 5 ( 5 x − 8 ) . 2 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 7. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3 x − 2017 și punctul A (1,0 ) . Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d . π π 5p 6. Arătaţi că sin  + x  sin x + cos  + x  cos x = 0 , pentru orice număr real x . 2  2  SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x 0 0 0 0 x     1. Se consideră matricele A ( x ) =  0 x 0  și B ( x ) =  0 x 0  , unde x este număr real.  0 0 1 2 0 0     5p a) Calculați det ( A ( 2 ) ) . 5p b) Demonstrați că det ( A ( x ) + B ( x ) ) = det ( B ( x ) ) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinaţi numerele naturale n și p , știind că A ( n ) B ( p ) = B ( 3) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + aX 2 + 8 X + 3 , unde a este număr real. 5p a) Determinați numărul real a , știind că f (1) = 0 . 5p b) Pentru a = 6 , determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + 5 X + 3 . 5p c) Demonstrați că, dacă a ∈ ( −4, 4 ) , atunci polinomul f nu are toate rădăcinile reale. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2018 + 2018 x + 2 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 2018 x ( 2017 +1 , x∈ℝ .) 5p b) Determinaţi numărul real a , știind că punctul A ( a, 2020 ) aparține tangentei la graficul funcţiei f care trece prin punctul de abscisă x = 0 situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Demonstrați că ecuația f ( x ) = 0 are exact două soluții reale distincte. 1 xn 2. Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = ∫ 2 dx . 0 x + 2x + 2 1 ( 5p a) Calculați ∫ x + 2 x + 2 dx . 2 ) 0 1 5p b) Demonstrați că I n+1 + 2 I n +2 I n−1 = , pentru orice număr natural n , n ≥ 2 . n 5p c) Demonstrați că lim nI n = 1 . n→+∞ 5 Probă scrisă la matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1