Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră numerele complexe z1 = 5 + 2i și z2 = 3 − 3i . Arătați că 3z1 + 2 z2 = 21 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x − x + 2 . Determinați 2 abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții. 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x +3 = 3 ⋅ 33 x . 2 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 5. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0, 2 ) , B ( 2, 4 ) și C ( m,0 ) , unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că punctele A , B și C sunt coliniare. 5p 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că AB = 4 , AC = 8 și A = π . 3 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  2− x 0 x −1    1. Se consideră matricea A ( x ) =  0 1 0  , unde x este număr real.  2 (1 − x ) 0 2 x − 1   5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 2 . 5p b) Demonstrați că det ( A ( x ) A ( − x ) ) ≤ 0 , pentru orice număr real x . 5p c) Arătați că, dacă numerele naturale m și n verifică relația A ( m ) A ( n ) = A ( 2 ) , atunci m + n = 3 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + 2 X 2 + aX + 1 , unde a este număr real. 5p a) Determinați numărul real a , știind că f (1) = 0 . 5p b) Pentru a = 2 , calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + X + 1 . 5p c) Determinați numerele reale a pentru care rădăcinile polinomului f au modulele egale. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( −2, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = e x − 1 − ln ( x + 2 ) . 1 5p a) Arătați că f ' ( x ) = e x −, x ∈ ( −2, +∞ ) . x+2 5p b) Demonstrați că funcția f este convexă pe ( −2, +∞ ) . f ( x) 5p c) Calculați lim . x →+∞ x e 2. Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = ∫ x ln n x dx . 1 e e −1 2 5p a) Arătaţi că ∫ x dx = . 1 2 5p b) Demonstraţi că I n+1 ≤ I n , pentru orice număr natural nenul n . 5p c) Demonstraţi că 2 I n+1 + ( n + 1) I n = e 2 , pentru orice număr natural nenul n . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1