Matematică 2016

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5 5p 1. Arătați că log 2016 63 + log 2016 32 + 0,0625 = . 4 5p 2. Determinaţi numărul real m , pentru care soluţiile ecuaţiei x 2 − ( 3m − 4 ) x + m − 3 = 0 verifică relaţia x1 + x2 = 2 x1x2 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 ⋅ 2 x + 4 x − 8 x = 0 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea {0, 1, 2,…, 9} , acesta să fie soluţie a ecuaţiei f ( n ) = 0 , unde f : ℝ → ℝ , f ( n ) = n3 + 3n − 4 . 5p 5. Se consideră triunghiul ABC cu AB = AC = 6 3 şi m ( ∢A) = 120 . Calculaţi lungimea vectorului AC − AB .  π 5p 6. Arătați că sin ( a + b ) = 1 , știind că a, b ∈  0,  , a ≠ b și sin a + cos a = sin b + cos b .  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) x 3 y 1. Se consideră determinantul ∆ ( x, y ) = x 2 2 y 2 , unde x și y sunt numere reale. 1 1 1 5p a) Calculați ∆ ( −1,0 ) . 5p b) Demonstrați că ∆ ( x, y ) = ( x − y )( xy − 3x − 3 y + 2 ) , pentru orice numere reale x și y . 1 5p c) Determinați numerele întregi distincte x și y , știind că ∆ ( x, y ) = 8 . y−x  1 2n 3n    2. Se consideră matricea A ( n ) =  0 1 2n  , unde n este număr natural.   0 0 1   5p a) Calculați A (1) − A ( 0 ) . 5p b) Determinați inversa matricei A (1) . 5p c) Demonstrați că, dacă A ( n ) ⋅ A ( n ) = A ( p ) , atunci n = 0 și p = 1 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2x + 1 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln şi şirul de numere reale ( xn )n≥1 , x xn = f ( n ) . 5p a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p b) Demonstrați că şirul ( xn )n≥1 este descrescător. 5p c) Demonstrați că ln 2 < xn ≤ ln 3 , pentru orice număr natural n , n ≥ 1 . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  x2 − 8x + 7  , x <1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  x 2 − 4 x + 3 , unde a este număr real.  2  x + 4 x − 4 + a, x ≥ 1 lim f ( x ) . 5p a) Calculați x→ −∞ 5p b) Determinați numărul real a , pentru care funcţia f este continuă în punctul x = 1 . ln ( f ( x ) − 2 ) 5p c) Pentru a = 2 , calculaţi lim . x →1 x −1 x >1 Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2