Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info Clasa a XI-a Simulare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinați numărul real x pentru care numerele 5 , 2 x + 3 , 2 x + 7 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5p 2. Arătați că, pentru orice număr real m , graficul funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + ( m − 1) x − m intersectează axa Ox . 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 − x = 2 x − 1 . 5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {1, 2,3, 4,5} , acesta să verifice relaţia 5n−1 > ( n + 1)! . 5p 5. Determinaţi numerele reale a și b , ştiind că, în reperul cartezian xOy , punctul de intersecție a dreptelor x + ( 2a + 1) y − 4 = 0 și 3x + by − 8 = 0 este M ( a, −2 ) . sin 2 x  π 5p 6. Arătați că = tg x , pentru orice număr real x ∈  0,  . 1 + cos 2 x  2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 1 x x 1. Se consideră determinantul D ( x, y ) = 1 1 y , unde x şi y sunt numere reale nenule. y 1 1 2 2  1 5p a) Arătaţi că D  2,  = 0 .  2 1 5p b) Arătaţi că D ( x, y ) = − ( 2 x − 1)( 2 y − 1)( x − y ) , pentru orice numere reale nenule x şi y . 2 xy 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia D ( log 2 x, 2 ) = 0 . 1 0 0 1 2 a   2. Se consideră matricele I 3 = 0 1 0 şi A ( a ) =  a 1 2  , unde a este număr real.     0 0 1 2 a 1 5p a) Arătați că 2 A (1) − A ( −1) = A ( 3) . 5p b) Determinaţi numerele reale a şi b pentru care A ( a ) + bI3 = 2 ( A (1) − I 3 ) ( A (1) − I3 ) . 5p c) Arătaţi că matricea A ( n ) este inversabilă pentru orice număr natural n . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x +1 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ln și şirul de numere reale ( an )n≥1 , x an = f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( n ) . 5p a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5p b) Arătați că șirul ( an ) este crescător. n ≥1 5p c) Calculați lim ( 2n + 1) ( an − ln n ) . n→ +∞ Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare 2 x + a + 1, x ≤ 1 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  2 , unde a este număr real.  x + a x, x > 1 2 5p a) Determinați numerele reale a pentru care funcția f este continuă în x = 1 . 5p b) Pentru a = 2 , calculați lim x →+∞ ( f ( x) − f ( x) + x ) . 5p c) Pentru a = −1 , arătați că ecuația f ( x ) + 2 x = 0 are cel puțin o soluție în intervalul [ −1,0] . Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 2 din 2