Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) ( 5 + 1) + ( 5 − 1) = 12 . 2 2 5p 1. Arătați că 5p 2. Calculați produsul f (1) f ( 2 ) f ( 3) f ( 4 ) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x − 4 x + 4 = 0 . 2 ( ) 5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 2 , 3 și 4 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 2 ) și B ( 2,3) . Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta AB . 5p 6. Arătați că sin ( π − x ) + sin (π + x ) = 0 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 0 x   1. Se consideră matricea B ( x ) =  0 1 0  , unde x este număr real.  3x 0 1    5p a) Arătați că det ( B ( 0 ) ) = 1 . x+ y 5p b) Arătați că B ( x ) + B ( y ) = 2 B   , pentru orice numere reale x și y .  2  ( ) 5p c) Determinaţi numerele reale x pentru care B x 2 + 1 B ( x ) = B x 2 + x + 1 . ( ) 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 1 2 ( x − 3)( y − 3) + 3 . 5p a) Arătați că ( −3) 3 = 3 . 5p b) Determinaţi numerele naturale n pentru care n n = 11 . 5p c) Calculaţi 1 2 3 … 2015 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x+2 1. Se consideră funcţia f : (1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x −1 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = − , x ∈ (1, +∞ ) . 3 ( x − 1)2 5p b) Arătați că funcția f este convexă pe intervalul (1, +∞ ) . 5p c) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu dreapta de ecuație y = −3x . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x e x . 2 f ( x ) dx = e ( e − 1) . 1 5p a) Arătați că ∫ x 1 5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (1) = 0 . 1 5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ x n f ( x ) dx . Arătați că 0 I n + ( n + 1) I n−1 = e , pentru orice număr natural n , n ≥ 2 . Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1