Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați rația progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a1 = 1 și a2 = 2015 . 5p 2. Determinați valoarea maximă a funcției f : [1,4] → ℝ , f ( x ) = x + 1 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 x − 8x = log3 9 . 2 ( ) 5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 2, 3, 4} . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3,3) , B ( 6,3) şi C ( 4,0 ) . Determinaţi coordonatele punctului D , știind că ABCD este paralelogram. π π 5p 6. Calculaţi lungimea laturii BC a triunghiului ABC în care AB = 1 , B = și C = . 3 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0 0 0 0 0 1 a a +1       1. Se consideră matricele I 3 =  0 1 0  , O3 =  0 0 0  și A ( a ) =  0 1 a + 2  , unde a este 0 0 1 0 0 0 0 0 1       număr real. 5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 1 . 5p b) Determinați numerele reale a , știind că A2 ( a ) − 2 A ( a ) + I3 = O3 , unde A2 ( a ) = A ( a ) A ( a ) . 5p c) Arătați că A ( 2 ) + A ( 4 ) + A ( 6 ) + … + A (100 ) = 50 A ( 51) . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 4 X 2 + mX + 2 , unde m este număr real. 5p a) Arătaţi că f ( 0 ) = 2 . 5p b) Determinați numărul real m pentru care x1 = x2 + x3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Pentru m = 8 , arătați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) ( 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x x 2 − 6 x + 9 . ) ( 5p a) Arătați că f ' ( x ) = e x − 4 x + 3 , x ∈ ℝ . x 2 ) 5p b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcţiei f . 5p c) Demonstraţi că e x ( x − 3) ≤ 4e , pentru orice x ∈ ( −∞, 3] . 2 1 ( ) n 2. Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul I n = ∫ 1 − x3 dx . 0 3 5p a) Arătați că I1 = . 4 5p b) Arătați că I n+1 ≤ I n , pentru orice număr natural nenul n . 3 ( n + 1) 5p c) Demonstrați că I n+1 = I n , pentru orice număr natural nenul n . 3n + 4 Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică Pagina 1 din 1