Matematică 2023

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 6 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați termenul a3 al progresiei aritmetice ( an ) , știind că a1 = 10 și a2 = 20 . n≥1 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + 4 . Arătați că f ( 0) + f (1) = 10 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 ( x − 4 ) = log 2 4 . 5p 4. Un produs costă 80 de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu 20% . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 0,2) și N ( 3,6) . Arătați că distanța dintre punctele M și N este egală cu 5 . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu AB = 4 și măsura unghiului C egală cu 45° . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 8 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  a a + 3 1. Se consideră matricele I 2 =   și A ( a ) =   , unde a este număr real. 0 1  −1 2  5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 9 . 5p b) Arătați că A ( a ) + A ( −a ) = 2 A ( 0 ) , pentru orice număr real a . 5p c) Determinați numerele reale a pentru care det ( A ( a ) ⋅ A ( −1) − aI 2 ) = 0 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + 3 X 2 + mX − 4 , unde m este număr real. 5p a) Arătați că f ( 0 ) = − 4 , pentru orice număr real m . 5p b) Determinați numărul real m , știind că −1 este rădăcină a polinomului f . 5p c) Determinați numerele naturale m pentru care x12 + x22 + x32 > 5 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − 3x + 4 + ln x . 2 ( 2 x − 1)( x − 1) , x ∈ 0, +∞ . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( ) x 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 11 5p c) Demonstrați că f ( x ) ≤ − ln 2 , pentru orice x ∈ ( 0,1] . 4  3  6 2. Se consideră funcția f :  − , +∞  → ℝ , f ( x ) = e x + .  2  2 x +3 3  5p a) Arătați că   f ( x ) − 6  2  dx = e e − 1 . 2x + 3  ( ) 1 0 ( ) 5p b) Arătați că  f ( x ) − e dx = 3ln 3 . x −1  3  2  5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g :  − , +∞  → ℝ, g ( x ) = 2 x 2 + 3 x f ( x ) ,  ( ) axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 are aria egală cu 2 ( e + 1) . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1